Klein, Felix Klein

Par Liseli le 4 décembre 2019 dans Découvertes

Aujourd'hui, ce n'est pas de Calvin mais de Felix dont nous allons parler. Nous allons plus précisément parler de... mathématiques !

 
Bouteille de Klein et ruban de Möbius

Le tricot permet de former des surfaces ou des volumes presque sans difficulté. C'est donc la meilleure solution pour construire toutes les formes mathématiques étonnantes difficilement constructibles en papier. Notamment, avez-vous déjà entendu parler du ruban de Möbius et de la bouteille de Klein ?

Si vous n'êtes pas adeptes du tricot, tout ce qui sera dit dans cet article fonctionne aussi en couture avec du jersey, voire même avec de vieux jeans, comme vous le verrez en fin d'article !

Petit topo mathématique

Le ruban de Möbius (ou Moebius pour les réfractaires aux trémas) fait partie de ces surfaces étonnantes. Décrit en 1858 par l'allemand August Ferdinand Möbius, ce ruban présente la particularité de n'avoir qu'une seule face.

Pour en construire un rapidement, coupez une bande de papier. Si vous joignez les deux bouts sans tordre le ruban, vous obtenez un cylindre avec une face externe et une face interne. Si vous tordez le ruban d'un demi-tour avant de rejoindre les bouts, les faces externes et internes seront connectées l'une à l'autre et ne formeront plus qu'une seule face. Vous pourrez passer le doigt sur toute la face du ruban sans le lever ni passer par la tranche du ruban. Vous venez de créer un ruban de Möbius.

Notez que si vous tordez la bande dans un sens ou dans un autre, vous obtenez un ruban similaire mais pas identique. Les rubans de Möbius sont des objets chiraux. Comme vos mains (cheir en grec), deux rubans assemblés chacun en en tordant la bande dans le sens inverse sont différents : l'un est l'image miroir de l'autre.

Lorsqu'un ruban de Möbius gauche et droit sont joints par leurs bords, cela crée un volume un peu particulier, connu sous le nom de bouteille de Klein, du nom du fameux Felix Klein, le mathématicien allemand l'ayant décrite en 1882. Ce volume a les mêmes propriétés que le ruban de Möbius : il ne possède qu'une seule face.

Qu'est-ce que tout ceci vient faire dans un article sur le tricot ?

Revenons à nos moutons – c'est le cas de le dire ! Construire une bouteille de Klein en papier est presque mission impossible, vous déchirerez le papier avant d'avoir assemblé tous les bords. C'est là qu'intervient le tricot et sa grande flexibilité (spoiler : dans une des vidéos en lien en bas de l'article, vous verrez que c'est tout de même faisable en papier si vous êtes un as de l'origami).

Dans le vif du sujet

Tricoter un ruban de Möbius est un jeu d'enfant. Il suffit de savoir tricoter une bande droite et coudre les deux extrémités ensemble. Plusieurs needlenautes s'y sont d'ailleurs essayées en tricotant le Funchal Moebius de Kate Davies Designs, dont celui de Au fil du Bassin en titre de cet article.

Il existe une solution bien plus élégante et intrigante mathématiquement parlant qui consiste à tricoter le ruban en rond, sans couture. Dans ce cas, il faut monter une sorte de zigzag à la place des mailles sur des aiguilles circulaires dont le fil est enroulé sur lui-même, et tricoter ces mailles deux fois. Le tricot grandira du centre vers les deux bords à la fois ! Par écrit, cela peut sembler nébuleux, rien ne vaut une bonne vidéo pour se faire une idée...

... même si pour être honnête, j'ai compris le concept une fois que j'ai essayé moi-même ! Si le sujet vous intéresse, je vous conseille vivement d'aller faire un tour sur Ravelry en cherchant les patrons contenant l'attribut "moebius".

Le col Möbius : solution ultime pour un col double-épaisseur sans plis ?

La première fois que j'ai tricoté un col Möbius, j'étais toute contente à l'idée que j'aurais enfin un col double-épaisseur qui ne vrille pas autour de mon cou mais j'ai déchanté à l'essayage en réalisant qu'il restait encore une demi-vrille... Si vous voulez un col sans pli et sans couture, utilisez la méthode Möbius mais enroulez le câble de vos aiguilles deux fois sur lui-même avant de commencer à tricoter. En d'autres termes, faites un noeud simple avec votre câble, et oui, de nouveau, il faut le faire pour que cela fasse sens. Ce col ne sera plus un ruban de Möbius car il aura de nouveau deux faces distinctes mais entre confort et mathématiques, il faut parfois choisir !

Et cette affaire de bouteille, dans tout ça ?

Grâce à l'élasticité du tricot, c'est tout à fait possible de coudre un ruban de Möbius gauche avec un ruban droit et de créer une bouteille de Klein... enfin, presque ! A un moment donné, vous devrez choisir si vous voulez pouvoir vérifier que la surface est bien continue, et donc laisser un trou dans votre couture pour pouvoir passer les doigts sur toute la surface, ou coudre deux parties distinctes du tricot ensemble pour obtenir une bouteille de Klein dont la surface est bien continue.

Testé pour vous

Suite à un pari stupide avec un collègue, je me suis retrouvée à tester pour vous – enfin, au départ surtout pour lui – le bonnet de Klein tricoté. J'ai suivi un patron extrêmement clair disponible gratuitement sur Ravelry pour créer un bonnet de Klein.

Le projet est d'une simplicité et rapidité effarante, ce sont deux bandes de point mousse avec des rangs raccourcis qu'il faut coudre ensemble. A la fin de la couture des deux rubans de Möbius arrive par contre un petit moment de solitude... Vous avez devant vous un tube presque fermé sur lui-même mais pas le moindre bonnet à l'horizon ! Et voici les explications à suivre à ce moment-là :

Your hat is hiding in there somewhere but it is not possible to tell you how to find it because you could have turned it many times while you have been stitching. Unfortunately, it is all down to trial and error.
You may need to pull the whole hat through the narrow handle ... or you may not.

Traduction en français:

Votre chapeau se cache quelque part là-dedans mais ce n'est pas possible de vous dire comment le trouver parce que vous pourriez avoir tourné l'ouvrage pas mal de fois pendant que vous cousiez. Malheureusement, c'est un jeu d'essai-erreur.
Vous pourriez avoir besoin de tirer tout le chapeau à travers la petite anse... ou pas.

Ça aide, n'est-ce pas ?

 
La
chose après avoir fini la couture... plus un col déformé qu'un bonnet... et puis j'ai trouvé le bonnet !

Bref, la solution pour moi fut effectivement de retourner le tricot en le faisant passer par le trou, jusqu'à ce que tout d'un coup, une forme acceptable pour être mise sur une tête apparaisse.

Alors d'accord, esthétiquement parlant, ce bonnet ne remporte pas le premier prix mais ce n'était pas mon but premier en le tricotant. J'ai utilisé deux fils que j'ai pensé être de la bonne épaisseur et nous sommes bien d'accord que j'ai raté mon coup. Je n'ai pas fait d'échantillon, d'où le côté bleu plus grand que le côté rose et la taille générale absurdement trop grande.

Si jamais vous avez des fadas de sciences dans votre entourage et que vous décidez de les gâter pour Noël, je vous conseille vivement de le leur offrir dans la version bonnet caché : moment de franche rigolade en perspective !

Klein en tricot, Klein en jersey, Klein en... jeans !

Si vous n'êtes pas allergiques à l'anglais, un homme complètement déjanté a créé une variété de bouteilles de Klein et vous explique pourquoi c'est tellement cool dans les vidéos ci-dessous:


Bouteille de Klein en tricot


Bouteille de Klein en jersey, séparable par une fermeture éclair


Bouteille de Klein dans une vieille paire de jeans

Slip de Möbius

Pour la petite histoire, après avoir rendu victorieuse le bonnet – bien entendu caché – à mon collègue, celui-ci m'a proposé un autre challenge. Si vous coupez une bouteille de Klein non pas dans sa hauteur mais dans sa largeur, vous obtenez une nouvelle forme : un slip de Möbius.

Challenge accepted ?

 

Image titre: Funchal Moebius de Kate Davies Designs par Au fil du Bassin

A propos de l'auteur : Liseli

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Commentaires

Nabel (il y a 7 mois, 1 semaine)

C'est officiel : tu es folle ! wink

L'histoire ne dit pas si ton collègue porte son bonnet ou s'il est vraiment trop grand.

PerrPo (il y a 7 mois, 1 semaine)

Vous avez de drôles de passe-temps au boulot....

Le chas qui fil (il y a 7 mois, 1 semaine)

J'ai fait ça pour mes snoods, mais je ne savais pas que cela avait un nom . surprise

CYQLAF (il y a 7 mois, 1 semaine)

Moi je veux voir le slip :) ! 

Liseli (il y a 7 mois, 1 semaine)

@Nabel: je ne parlerai qu'en présence de mon avocat! Et pour ton interrogation, le collègue l'a porté devant les autres collègues à midi mais je ne sais pas s'il l'a porté en public. Le bonnet est effectivement trop grand pour tout le monde mais là, c'est un "outil de travail", donc on s'en fiche s'il n'est pas super esthétique.

@latelierdautile: honnêtement, si le bonnet est pas super esthétique, la version col est vraiment moche! Mais c'est sûr que ça dépanne ;-)

@PerrPo: et ce n'est que la partie émergée de l'iceberg!

@Le chas qui fil: hé oui, tu as fait des cryptomathématiques ;-)

@CYQLAF: Ça ne m'étonne pas de toi! Je te conseille d'aller faire un tour sur le groupe de Wooly thoughts si tu veux les détails, j'avais posé la question sur comment faire et je peux certifier que je ne suis pas la plus frappée du groupe :-D

Elaine (il y a 7 mois, 1 semaine)

Merci pour cet article et les vidéos! :D Bon, pas sûr que je tricote un bonnet caché, mais qu'est-ce que j'ai ri!

Sabine Kanto (il y a 7 mois, 1 semaine)

Voici mon essai d'un ruban Möbius au crochet.

https://www.threadandneedles.org/projets-couture/92345-crapaud-mobius

 

missumlaut-Kikoo (il y a 7 mois, 1 semaine)

OMG. C'est trop beau...Bon j'ai fait il y a longtemps un snood de Moebius en tissu doublé, mais je ne sais pas tricoter. Mais un slip de Moebius (ou de Klein) l'idée est super, euh, comme cadeau de premier avril ?

Tita (il y a 7 mois, 1 semaine)

Fascinant et perturbant ! 

Zephora (il y a 7 mois, 1 semaine)

Je finis mon châle et mon manteau  de bébé et je me lance dans ce magnifique ouvrage  !

Liseli (il y a 7 mois, 1 semaine)

@Elaine: Et rire, c'est bon pour la santé :-)

@Sabine Kanto: juste, si on peut le tricoter, on peut a fortiori le crocheter!

@missumlaut-Kikoo: oui, j'ai vu ton snood en cherchant de quoi illustrer l'article! Clairement, le slip de Möbius ne passe pas trop pour être porté, surtout si la laine gratte ;-)

@Tita: tout à fait mon avis!

@Zephora: yeay! J'ai créé des vocations! C'est bien le slip que tu comptes faire? ;-)